Asymptote parallèle à l'axe des abscisses

Définition

Soit \(\ell\)  un réel.

• Si \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell\) , on dit que la droite d'équation \(y=\ell\)  est asymptote à \(\mathscr{C}_f\)  au voisinage de \(+\infty\)  ou que \(\mathscr{C}_f\)  admet une asymptote horizontale  d'équation  \(y=\ell\)  au voisinage de `+\infty` .
  
• Si \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\ell\) , on dit que la droite d'équation \(y=\ell\)  est asymptote à   \(\mathscr{C}_f\)  au voisinage de \(-\infty\)  ou que \(\mathscr{C}_f\)  admet une asymptote horizontale d'équation  \(y=\ell\)  au voisinage de `-\infty` .
  

Remarque

\(x\)  étant fixé, la distance entre la courbe représentative  \(\mathscr{C}_f\)  et la droite d'équation  \(y=\ell\)  est \(\left| f(x)-\ell \right|\) .
\(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell\)  si et seulement si \(\lim\limits_{x \to +\infty}|f(x)-\ell|=0\) .
Ainsi, la courbe représentative  \(\mathscr{C}_f\)  admet une asymptote d'équation  \(y=\ell\)  au voisinage de \(+\infty\)  si et seulement si la distance entre la courbe représentative \(\mathscr{C}_f\)  et la droite d'équation \(y=\ell\)  a pour limite \(0\)  en \(+\infty\) .